本章目录
数量 §1 数量关系§1.1 解题方法记录中 §1.2 高频题型记录中
§1 数量关系QUANTITATIVE ANALYSIS · CHAPTER ONE · QUANTITATIVE RELATIONS
数量分析模块第一章。骨架已立，小节随课程讲授逐步确立。🚧 记录中
§ 1.1 解题方法一 · 代入排除法
将选项直接代入题干当中进行判断，从而确定答案的方法 。
⚡ 使用条件（什么时候用）
1．典型代入 固定题型 ：年龄问题 、余数问题 （出现「剩」「余」「多」「缺」「少」）、多位数问题 （出现位数变化）、不定方程问题 （未知数个数多于方程个数）选项信息充分 ：选项为一组数 ／可转化为一组数 复杂代入 列式复杂 计算复杂
⚡ 使用方法（怎么用）
1．先排除 数字特性 （尾数 、奇偶 、倍数 ）简单条件 再代入 最值代入 （问最大 ，从大到小；问最小 ，从小到大）简单代入 （整10、100数 ）
二 · 数字特性法
（一）奇偶特性
⚡ 1．加法
性质1 奇反偶同 ：偶数 偶数 奇数 和差同性 ：x +y 与 x −y 的奇偶性相同
⚡ 2．乘积
① 有偶则偶 ：偶数 × 任意数 = 偶数 全奇为奇 ：奇数 × 奇数 = 奇数
（二）倍数特性
⚡ 整除判定技巧
1．
口诀法 （常考：3、4、8、9）
3、9 看各位数之和 2、5 看末一位 4、25 看末两位 8、125 看末三位
2．
因式分解 （6、12、18、35 等）
因式分解成两个
互质 （即没有公约数）的数
3．
拆分法 （7、11、13 等）
一个数 =
接近且明显能被整除的数 ±
零头 ，只看
零头
⚡ 1．
A B =
m n （m /n 最简）
① A 是 m 的倍数B 是 n 的倍数A ± B 是 m ± n 的倍数总结 ：出现倍数、比例、分数、百分数 ，求具体数 时，可考虑倍数特性技巧 ：将倍数、比例、分数、百分数转化为最简分数 解题
⚡ 2．A + B = C
A 、B 、C 中有两个量 含共同因子 ，则第三个量 也含有
⚡ 3．A = B × C （B 、C 均为整数）
A 既是 B 的倍数，也是 C 的倍数 常见题型 ：平均分配物品 三量关系 ：A = B × C （工作总量 = 效率 × 时间 ；路程 = 速度 × 时间 ）
⚡ 拓 · 余数问题
通常结合选项，倍数特性+代入排除 （多退少补 ）
三 · 方程法
⚡ 使用题型
题干中有明显的等量关系 （和差倍比 ）
⚡ 使用方法
找等量关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程
（一）常规方程（组）
⚡ 1．找等量关系的技巧（常见等量关系）
① 根据「和差倍比」 关系找「总数」 ——总数 = 总数 ；部分 + 部分 = 总数 「相同、相当于、等价于」
⚡ 2．设未知数的技巧
① 根据「相对关系」 （倍数、比例、分数、百分数）设「中间量」 问谁设谁 ／缺谁设谁
（二）不定方程（组）（未知数个数多于方程个数）
⚡ 1．不定方程
方法 ：数字特性 ：一奇一偶 时公因子 时0/5 时代入排除
⚡ 2．不定方程组
① 求单量 （x /y /z ）不定方程 求解求整体 （x +y +z ）赋0法 （将某个未知量赋为 0 ）
四 · 赋值法
⚡ 1．使用条件（什么时候用赋值）
1．题干中只有「相对关系」 （倍数、比例、分数、百分数），无任何具体值 （数字+单位）「A = B × C 」 （如：W = P ×t 、S = V ×t 、总价 = 单价 × 数量）A 、B 、C 中只有一类量 有具体值——可赋一类量 A 、B 、C 中无任何具体值 ——可赋两类量
⚡ 2．使用方法（给谁赋值？赋多少？）
1．根据「相对关系」 赋相同量 相同量
§ 1.2 高频题型一 · 工程问题
识别 ：某人／某设备做某事 ；工程
工程总量 W = 工作效率 P × 时间 t
⚡ 1．完工时间型
识别 ：题干中给出多个完工时间 ，且无效率和总量的具体值 方法 ：赋值 ：赋完工时间的最小公倍数 求 P ：P =
W t 常考出题形式 ：① 直接 给出完工时间 ② 间接 给出完工时间
⚡ 2．效率比型
识别 ：题干中给出效率的相对关系 ，且无效率的具体值 方法 ：赋 P ：根据相对关系 赋求总量 ：W = P × t 给效率比的不同型式 ：直接型 ：比例、倍数、分数、百分数 间接型 ：不同工作方式，完成相同工作量 ，可推导效率比例特殊型 ：出现多个工作主体 （如工作人数、机械台数）效率默认相同 ，赋单个主体效率为 1
⚡ 3．条件综合型
识别 ：题干出现 W ／P ／t 至少两类量的具体值 方法 ：方程法 设未知数 ：一般设 P 或 t 找等量关系 ：一般根据总量 ——W = W W 1 + W 2 = W
二 · 经济利润问题
⚡ 1．基础公式
① 成本 = 售价 − 利润 =
售价
1 + 利润率
售价 = 成本 + 利润 = 成本 × (1 + 利润率) = 定价 × 折扣利润 = 售价 − 成本 = 成本 × 利润率利润率 =
利润
成本
=
售价 − 成本
成本
总成本／总价／总利润 = 单成本／单价／单利润 × 数量
⚡ 2．解题方法
① 套公式 方程法 （给具体求具体值 ）赋值法 （给相对关系求相对关系 ）辅助技巧 ：列表法
三 · 行程问题
识别 ：涉及路程、速度、时间 的问题
路程 S = 速度 V × 时间 t
方法 ：比例法 、方程法 、赋值法
辅助技巧 ：画行程图
注意 ：单位转化
（一）基础公式型
⚡ 1．比例关系
① t 一定S 、V 成正比 V 一定S 、t 成正比 S 一定V 、t 成反比 使用条件 ：当 S 、V 、t 某个量一定 时
⚡ 2．平均速度
等距离平均速度 ：V
2V 1 V 2
V 1 + V 2 使用条件 ：两个不同 V ，走过相等的 S 运动模型 ：① 前后半段 运动 ② 往返 运动 ③ 上下坡 运动
⚡ 拓 · 匀加速直线运动
1．V t V 0 + at ；V
V 0 + V t 2
S = V 0 t +
1
2
at 2
⚡ 3．火车过桥问题
本质 ：长度不能被忽略 的物体运动完全过桥 ：S = L 桥 + L 车 = V × t 完全在桥上 ：S = L 桥 − L 车 = V × t
⚡ 4．流水行船问题
本质 ：速度的叠加与削弱 的物体运动V 顺 = V 船 + V 水 ；V 逆 = V 船 − V 水 V 船 =
V 顺 + V 逆 2
；V 水 =
V 顺 − V 逆 2
V 静 = V 船 ；V 漂 = V 水
（二）相遇追及型
⚡ 1．直线上的相遇追及
（1）直线相遇 （同时相向而行 ）直线单次相遇 ：S 和 = V 和 × t 直线多次相遇 （两端出发 ）：S 和 = V 和 t = (2n −1)S ；n 为相遇次数，S 为一个全程直线多次相遇 （同端出发 ）：S 和 = V 和 t = 2nS ；n 为相遇次数，S 为一个全程直线追及 （同时同向而行 ）：S 差 = V 差 t ；V 差 = V 大 − V 小 S 差 ：追及开始时两者相距路程 ；为了追上而多跑的路程
⚡ 2．环形上的相遇追及
（1）环形相遇 （反向运动 ：同点同时反向而行）：S 和 = V 和 t = nS ；n 为相遇次数，S 为一个全程 = C 圆 环形追及 （同向运动 ：同点同时同向运动）：S 差 = V 差 t = nS ；n 为追上次数，S 为一个全程 = C 圆
四 · 排列组合
识别 ：问有多少种方案、方法、组合、可能 等
（一）基础排列组合
⚡ 1．分类、分步
（1）分类 ：要么……要么…… （……或 ……）——分类用加法 分步 ：先……再…… （既……又…… ）（……且 ……）——分步用乘法
⚡ 2．排列组合
从 n 个元素中任取 m 个元素的情况数 无关 ，用组合 ：C n m 有关 ，用排列 ：A n m 全排列 ：A n n 判定与顺序是否有关的方法 ：从选出的 m 个元素中任意调换两者顺序 ——无影响 ，与顺序无关，用 C 有影响 ，与顺序有关，用 A C n m C n n −m C n 1 = n ；C n n A 5 5 = A 5 4 = 120；A 4 4 = 24；A 3 3 = 6；C 4 2 = 6；C 5 2 = C 5 3 = 10；C 6 2 = 15；C 6 3 = 20
（二）常考模型
⚡ 1．元素相邻
识别 ：排／连在一起、相邻、连续 N 天 等方法 ：捆绑法 （先捆再松 ）先捆 ：先把需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个元素 ，和其他元素进行排列或组合后松 ：再对捆绑元素内部 分别进行排列
⚡ 2．元素不相邻
识别 ：不相连、不能连续 等方法 ：插空法 （先排再插 ）先排 ：先把没有特殊要求 的元素排列或组合再插 ：再把要求不相邻 的元素插空 到没有特殊要求的元素形成的空 中去
⚡ 3．同素分堆
识别 ：n 个相同元素 分给 m 个主体时，要求每个主体至少分 X 个 方法 ：插板法 至少分 1 个 」：C 空 板 = C n −1m −1至少分 X 个 」：先 给每个主体分 X −1 个；再 给每个主体至少分 1 个 ——C 空 板 = C 剩余n −1 m −1
⚡ 4．错位重排
识别 ：元素的位置重新排列，每个元素的位置都不在原来位置上 （如车不能停在原位、信封问题、标签贴错、学生改其他人试卷 等）方法 ：n 个元素错位重排情况数：D 1 = 0、D 2 = 1、D 3 = 2、D 4 = 9、D 5 = 44
五 · 概率
（一）给情况求概率
P =
符合情况数
总情况数
= 1 −
不符合情况数
总情况数
（二）给概率求概率
1．分类概率 ：P = P 1 + P 2 + ……
2．分步概率 ：P = P 1 × P 2 × ……
六 · 几何问题
（一）公式应用
1．正方形 ：周长 C = 4a ；面积 S = a 2
2．长方形 ：周长 C = 2(a + b )；面积 S = ab
3．三角形 ：面积 S =
ah 2
（a 为底，h 为高）
4．等边三角形 ：面积 S =
√3a 2
4
5．平行四边形 ：面积 S = ah
6．菱形 ：面积 S = ah =
d 1 × d 2 2
（对角线乘积的一半）
7．梯形 ：面积 S =
(a + b )h
2
（a 、b 为上、下底）
8．圆形 ：周长 C = 2πr = πd ；面积 S = πr 2 （r 为半径，d 为直径）
9．扇形 ：面积 S =
n 360
πr 2 =
lr 2
（n 为圆心角度数，l 为弧长）
立体几何公式 ：
1．正方体 ：表面积 S = 6a 2 ；体积 V = a 3
2．长方体 ：表面积 S = 2(ab + ah + bh )；体积 V = abh （a 、b 、h 为长、宽、高）
3．圆柱 ：侧面积 S 侧 = 2πrh ；表面积 S = 2πr 2 + 2πrh ；体积 V = πr 2 h （r 为底面半径，h 为高）
4．圆锥 ：侧面积 S 侧 = πrl ；表面积 S = πr 2 + πrl ；体积 V =
πr 2 h
3
（l 为母线长）
5．球体 ：表面积 S = 4πr 2 ；体积 V =
4πr 3
3
（r 为半径）
最值问题 ：
1．平面图形中，若周长一定 ，越接近圆，面积越大
2．平面图形中，若面积一定 ，越接近圆，周长越小
（二）三角形相关
⚡ 1．勾股定理
定义 ：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 a 2 + b 2 = c 2 （a 、b 为直角边，c 为斜边）常用勾股数 ：（3、4、5）；（6、8、10）；（5、12、13）；（7、24、25）；（8、15、17）（及各自的整数倍）
⚡ 2．特殊三角形
（1）等边三角形 ：三边相等，三个内角均为 60° 等腰直角三角形 ：两条直角边相等，三边之比 1∶1∶√2 含 30° 的直角三角形 ：30° 所对的直角边等于斜边的一半 ，三边之比 1∶√3∶2 直角三角形斜边中线 ：斜边上的中线等于斜边的一半 顶角 120° 的等腰三角形 ：底角均为 30°，三边之比 1∶1∶√3
⚡ 3．相似三角形
性质 ：相似比 ）周长比、对应高的比 = 相似比 面积比 = 相似比的平方
七 · 最值问题
（一）最不利构造
识别 ：题干出现「至少……保证……」
方法 ：最不利情况 （离结果只差一个）结果数 = 最不利情况数 + 1
（二）和定最值
识别 ：和一定 ，让求某个量的最大值／最小值
方法 ：反向思考 ：某个量的最大值 → 其他量小 ；某个量的最小值 → 其他量大 构造数列 （问谁设谁）加和求解 ：问最大 → 向下取整 ；问最小 → 向上取整
注：看限制条件是否可以相同，若未说明，则默认可以相同
八 · 容斥问题
（一）基础知识
⚡ 1．两集合容斥
公式 ：A + B − A ∩B = 全集 − 都不
⚡ 2．三集合容斥
公式 ：A + B + C − A ∩B − A ∩C − B ∩C + A ∩B ∩C = 全集 − 都不非标准型 ：A + B + C − 只满足两个 − 2 × 三个都满足 = 全集 − 都不常识型 ：只满足一个 + 只满足两个 + 三个都满足 = 全集 − 都不 如何区分标准与非标 ：分别给出两两交集 （既 A 又 B 、既 B 又 C 、既 A 又 C ）统一给出满足两种 （只满足两种）
（二）解题方法
1．公式法 ：题目中所给、所求都是公式中的一部分
2．画图法 ：出现「只符合某条件」 （如「只 A 」）——三步走：① 画图 ② 标数字（从交集标、不重不漏 ）③ 加和求解
九 · 日期星期问题
（一）日期基础常识
⚡ 1．平闰年判定
判定 ：非整百年份 ：能被 4 整除 为闰年整百年份 ：能被 400 整除 为闰年天数 ：平年 365 天（2 月 28 天）；闰年 366 天（2 月 29 天）
⚡ 2．大小月判定
大月 （31 天）：1、3、5、7、8、10、12 月小月 （30 天）：4、6、9、11 月2 月 ：平年 28 天，闰年 29 天
⚡ 3．星期判断
一周 7 天，连续的七天，必有周一到周日各一天 余数是几就往星期后面数几 拓（特殊） ：日期不变、年份改变的日期推断——逢年星期加一，遇闰日星期再加一
⚡ 4．周期相遇
相遇大周期 = 小周期的最小公倍数 每隔 N 天 = 每 N + 1 天
十 · 年龄问题
（一）基础知识
1．每年每人长 1 岁
2．两个人的年龄差始终保持不变
3．两人年龄的倍数关系 随着时间的推移而变小
4．生肖顺序：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪
（二）解题方法
1．代入排除 ：题干信息充分或出现两人年龄的倍数关系 ，优先使用代入排除法
2．方程法 ：简单年龄问题，一般根据年龄差不变 设未知数列方程求解
3．列表法 ：题干涉及的量较多、关系复杂，可以列表理清关系
十一 · 等差数列
⚡ 1．通项公式
基本 ：a n = a 1 + (n − 1)d a 1 为首项，d 为公差）推广 ：a n = a m + (n − m )d n 、m 为项数）
⚡ 2．求和公式
公式 ：S n =
n (a 1 + a n )2
（（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2）中项求和 ：奇数项：S n = n × 中间项 ；偶数项：S n = n × 中间两项的平均数